Jason's blog: [數學] 圓系、淺談根軸性質、尋找根軸、根軸方程式

1.配方法
2.三角不等式
小結

1.配方法

假設 $y=ax^2+bx+c \ (a\neq 0)$，為一個二次函數(拋物線)，那麼頂點就是該函數的極值。所以將其配方法可得$y=\displaystyle a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$。因此，在$x=-\displaystyle\frac{b}{2a}$時有極值$\displaystyle\frac{4ac-b^2}{4a}$(由a的正或負決定極小或極大)。

例題

1.求$5x^2+20x-5$的極值是多少?: 解: 因為$5x^2+20x-5=5(x+2)^2-25$而且開口向上，所以在$x=-2$時有最小值$-25$。
2.求$f(x)=-8x^4-2x^2-5$的極值是多少?: 解: $-8x^4-2x^2-5=-8(x^4+\displaystyle\frac{1}{4}x^2+\displaystyle\frac{1}{64})-5+\displaystyle\frac{1}{8}=-8(x^2+\displaystyle\frac{1}{8})^2-\displaystyle\frac{39}{8}$，因為$(x^2+\displaystyle\frac{1}{8})^2\geq\displaystyle\frac{1}{64}$，等號發生在$x=0$時，所以$f(x)$在$x=0$時有最大值$f(0)=-5$
注意:四次函數不是拋物線，只是長很像而已。

➤延伸:多項平方相加求極值

設$f(x)=c_1(x-a_1)^2+c_2(x-a_2)^2+...+c_n(x-a_n)^2$，則當$x=\displaystyle\frac{c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n}{c_1+c_2+...+c_n}$(加權平均)時，$f(x)$有極值$f(\displaystyle\frac{c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n}{c_1+c_2+...+c_n})$

證明

展開原式$f(x)=(c_1+c_2+...+c_n)x^2-(2c_1a_1+2c_2a_2+...+2c_na_n)x+(c_1a_1^2+c_2a_2^2+...+c_na_n^2)$，故由配方法可知$x=-\displaystyle\frac{-(2c_1a_1+2c_2a_2+...+2c_na_n)}{2(c_1+c_2+...+c_n)}=\frac{c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n}{c_1+c_2+...+c_n}$時，有極值$f(\displaystyle\frac{c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n}{c_1+c_2+...+c_n})$

例題

1.設$\displaystyle f(x)=(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2$，求$f(x)$的最小值，以及此時的$x$值為？: 解: 當$x=\displaystyle\frac{1+2+3}{3}=2$ 時，有最小值 $f(2)=2$。
2.設$f(x)=2(x-1)^2+(x-2)^2+(x-3)^2$，求$f(x)$的最小值，以及此時的$x$值為？: 解: 當$\displaystyle x=\frac{2\times 1+2+3}{4}=\frac{7}{4}$時，$f(x)$有最小值$f(\displaystyle\frac{7}{4})=\frac{11}{4}$。
3.求$f(x)=1(x-1)^2+2(x-2)^2+...+31(x-31)^2$的最小值及此時的$x$值為？: 解: 當$x=\displaystyle\frac{1^2+2^2+...+31^2}{1+2+...+31}=\displaystyle\frac{\frac{31\times 32\times 63}{6}}{\frac{32\times 31}{2}}=21$時，有最小值$f(21)=27280$。

如果要求高次多項式的極值，可以參考微分法

2.三角不等式

三角不等式可以用來求絕對值相加或相減的極值。其公式為$${\begin{aligned}\boldsymbol{\left|{x}\right|+\left|{y}\right| }&\boldsymbol{\geq \left|{x + y}\right| }\\ \boldsymbol{\left|{x}\right|-\left|{y}\right| }&\boldsymbol{\leq \left|{x-y}\right|}\end{aligned} }$$等式成立於$xy\geq0$，可以理解為:三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。

證明

我們只要證明$(\left|{x}\right|+\left|{y}\right|)^2\geq(\left|{x + y}\right|)^2$，然後因為$\left|{x}\right|+\left|{y}\right|\geq 0$ 而且$\left|{x + y}\right|\geq 0$，就能得到$\left|{x}\right|+\left|{y}\right| \geq \left|{x + y}\right|$。因此， $ \begin{aligned} \left(\left|{x}\right|+\left|{y}\right|\right)^2-\left(\left|{x + y}\right|\right)^2&=\left(\left|{x}\right|^2+2\left|{x}\right|\left|{y}\right|+\left|{y}\right|^2\right)-\left(x + y\right)^2\\&=\left(x^2+2\left|{xy}\right|+y^2\right)-\left(x^2+2xy+y^2\right)\\&=2\left(\left|{xy}\right|-xy\right)\\&\geq 0\end{aligned}$ 等號成立於$\left|xy\right|=xy$ ，也就是$xy\geq0$時。 故$(\left|{x}\right|+\left|{y}\right|)^2\geq(\left|{x + y}\right|)^2$，即$\boldsymbol{\left|{x}\right|+\left|{y}\right|\geq\left|{x + y}\right|}$。 將上式中的$x$用$x-y$取代，可得$\left|{x-y}\right|+\left|{y}\right|\geq\left|{(x -y)+ y}\right|$，再進行移項就能得到$\boldsymbol{\left|{x-y}\right|\geq\left|{x}\right|-\left|{y}\right|}$ ，故得證。

例題

1.設$f(x)=\left|{x-1}\right|+\left|{x+3}\right|$，求$f(x)$的最小值，以及$x$在哪個範圍發生？: 解: 先按照三角不等式說的試試看:$\boldsymbol{\left|{x-1}\right|+\left|{x+3}\right|\geq\left|{(x-1)+(x+3)}\right|=\left|{(2x+2)}\right|}$--------①，發現有存在變數。換個角度試試看，$\left|{x-1}\right|+\left|{x+3}\right|$與$\left|{-(x-1)}\right|+\left|{x+3}\right|$其實是一樣的。
再利用三角不等式: $\boldsymbol{\left|{-(x-1)}\right|+\left|{x+3}\right|\geq\left|{-(x-1)+(x+3)}\right|=4}$ --------②。
為什麼會有兩種結果呢?其實兩個結果發生的條件不一樣。
在式①中，等號成立在$x\geq1 或 x\leq-3$，所以這條式子在$-3\lt x\lt 1$之間是達不到我們用三角不等式得出來的值的。也就是說我們不能依據這條式子，帶入$x=-1$ 說$\left|{(2(-1+2)}\right|=0$，所以最小值是$0$。因此式①中，$\left|{(2x+2)}\right|$在$x\geq1 或 x\leq-3$的範圍中，最小值會是$4$且發生在$x=1,-3的時候$。那在其餘的範圍怎麼辦呢?這時就要用到式②。②的等號成立在$-3\leq x\leq 1$，而且整段函數值都是$4$。
由兩式整合我們可以知道$f(x)$的最小值為$4$，發生在 $ -3\leq x\leq 1$。

事實上，$f(x)=\left|{x+a}\right|+\left|{x+b}\right|$的圖形都是中間低，兩邊高的情況，如下圖:

而最低點就發生在中間的部分，也就是例題中 ②的情況。所以我們其實只要利用三角不等式，把絕對值內的$x$消掉，就能求出函數的最小值了。

例如:$\left|{x-8}\right|+\left|{x-6}\right|=\left|{x-8}\right|+\left|{6-x}\right|\geq\left|{(x-8)+(6-x)}\right|=2$，所以最小值是$2$，發生在$6\leq x\leq8$的時候。

➤延伸:$x$係數不為$1$的絕對值相加求極值(或是很多個絕對值相加)

遇到$x$前係數不是$1$的整數時，先將其拆成很多$x$前係數為$1$的絕對值相加，如果有多項，按照每一項$=0$時的$x$值由小到大排列，例如:$\displaystyle\left|{3x-2}\right|+\left|{2x+4}\right|$改寫成$(\left|{x+2}\right|+\left|{x+2}\right|)+(\left|{x-\displaystyle\frac{2}{3}}\right|+\left|{x-\displaystyle\frac{2}{3}}\right|+\left|{x-\displaystyle\frac{2}{3}}\right|)$，再分成以下兩種情況討論:
情況一:奇數個絕對值相加
情況二:偶數個絕對值相加
一般情況
例題

小結

多項平方相加求極值找平均數

多項絕對值相加求極值找中位數

下一篇，我們要利用算幾不等式與柯西不等式求極值。