想了解根軸的話請看這篇
題目如下:
- 已知兩圓$ω_{1},ω_{2}$交於點$X$,$Y$，直線$L$分別切$ω_{1},ω_{2}$於$A、B$兩點而且線段AB離點X較近，離Y較遠。有一通過點$A$與點$B$的圓$ω$交圓$ω_1$於D$\neq{A}$，與圓$ω_2$交於$C\neq{B}$。若C,Y,D共線且$ \begin{cases}
\overline{XC}=67 \\
\overline{XY}=47\\
\overline{XD}=37
\end{cases}$(如下圖所示)，求$\overline{AB}^2=?\color{red}{(2016AIME)}$
解:
- 延伸$\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{YX}, \overrightarrow{CB}$，因為$\overset{\longleftrightarrow}{DA}$為$ω_{1}$與$ω$的根軸，$\overset{\longleftrightarrow}{XY}$為$ω_{1}$與$ω_{2}$的根軸，$\overset{\longleftrightarrow}{BC}$為$ω$與$ω_{2}$的根軸，從根軸的性質可知此三線會交於一點(即根心)，設此點為E(如下圖所示)。 假設$\overline{EY}$交$\overline{AB}$於$Z$，則由根軸性質可知$\overline{AZ}=\overline{BZ}$。設$\overline{XZ}=x,\overline{XE}=y$，由密克定理(Miquel's theorem)可知四邊形$AXBE$四點共圓。藉由簡單的角度推算能得到 $\triangle{DXE}\sim\triangle{EXC}$ (AA相似)。 於是$\displaystyle\frac{37}{y}=\frac{y}{67}$，也就是$y^2=37\times67=2479\color{red}{...(1)}$。又$\overline{AZ}^2=x(y-x)\color{red}{...(2)}$【圓內冪性質】且$\overline{AZ}^2=x(x+47)\color{red}{...(3)}$【圓外冪性質】。$\color{red}{(2)},\color{red}{(3)}$解聯立得到$\displaystyle x=\frac{y-47}{2}$，代入$\color{red}{(2)}$， 故$\overline{AB}^2=4\overline{AZ}^2=4(\displaystyle\frac{y-47}{2})(\frac{y+47}{2})=(y-47)(y+47)\\ \quad\quad=y^2-47^2=2479-2209=\color{red}{270}$
